【八个基本泰勒公式】在数学分析中，泰勒公式是一个非常重要的工具，用于将一个函数在某一点附近用多项式形式进行近似表示。它不仅在理论研究中具有重要意义，在工程、物理和计算机科学等领域也有广泛应用。以下是八个基本的泰勒公式，它们分别对应常见的初等函数在不同点（通常为0，即麦克劳林展开）处的泰勒展开形式。
一、
泰勒公式的核心思想是：如果一个函数在某点可无限次求导，则该函数可以在该点附近用一个多项式来逼近。这个多项式的系数由函数在该点的各阶导数值决定。当展开点为0时，称为麦克劳林公式。
以下是八个常见函数的泰勒展开公式，适用于实数范围内的大部分情况，并且收敛于原函数在其定义域内。
二、八个基本泰勒公式（表格形式）
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（在x=0处） | 收敛区间 | ||
| 1 | $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| 5 | $ \arctan x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 6 | $ \arcsin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 7 | $ \sqrt{1+x} $ | $ 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 8 | $ (1+x)^a $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \binom{a}{n} x^n $，其中 $\binom{a}{n} = \frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}$ | $ | x | < 1 $ |
三、说明
- 上述公式均以 $ x = 0 $ 为中心展开，即麦克劳林级数。
- 每个函数的展开式都包含无限项，但实际应用中往往取前几项作为近似值。
- 收敛区间是指该泰勒级数能够准确表示原函数的 $ x $ 的取值范围。
通过掌握这八个基本泰勒公式，可以更方便地进行函数近似计算、微分方程求解以及数值分析等工作。在学习过程中，建议结合图形与数值计算进行验证，加深对泰勒展开的理解。