【等差等比数列公式】在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们各自有独特的规律和计算公式。掌握这些公式不仅有助于解决实际问题，还能提高对数列的理解能力。
一、等差数列
等差数列是指每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 d。
基本公式：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差 |
| 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n $ 是前n项的和 |
| 另一种求和方式 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 适用于已知首项和公差时 |
二、等比数列
等比数列是指每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为公比，记作 r。
基本公式：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比 | ||
| 前n项和 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 适用于有限项的等比数列 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，可求无限项和 |
三、对比总结
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 | ||
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 | ||
| 公差 | $ d $ | 无公差，有公比 $ r $ | ||
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） | ||
| 无穷项和 | 不适用 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（$ | r | < 1 $） |
通过以上公式和表格的整理，可以更清晰地理解等差数列和等比数列的特点及应用方法。在实际问题中，灵活运用这些公式能够帮助我们快速求解数列相关的题目。