【一元二次不等式的解法】一元二次不等式是初中到高中数学中常见的问题，它的一般形式为：
$$ ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{或} \quad ax^2 + bx + c < 0 $$
其中 $ a \neq 0 $。解这类不等式的关键在于找到对应的二次函数图像与x轴的交点，并根据开口方向判断不等式的解集。
一、一元二次不等式的解法步骤
1. 整理不等式：将不等式化为标准形式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $。
2. 求根：解对应的方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，得到两个实数根（或一个重根，或无实根）。
3. 画图分析：根据判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 判断根的情况，并结合抛物线的开口方向（由a的正负决定）来确定不等式的解集。
4. 写出解集：根据图像和符号判断，写出不等式的解区间。
二、不同情况下的解法总结
| 情况 | 判别式 $ D $ | 根的情况 | 抛物线开口方向 | 不等式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 的解集 | 不等式 $ ax^2 + bx + c < 0 $ 的解集 |
| 1 | $ D > 0 $ | 两个不同实根 $ x_1, x_2 $（$ x_1 < x_2 $） | 向上（$ a > 0 $） | $ (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) $ | $ (x_1, x_2) $ |
| 2 | $ D = 0 $ | 一个实根 $ x_0 $ | 向上（$ a > 0 $） | $ (-\infty, x_0) \cup (x_0, +\infty) $ | 无解 |
| 3 | $ D < 0 $ | 无实根 | 向上（$ a > 0 $） | 全体实数 $ \mathbb{R} $ | 无解 |
| 4 | $ D > 0 $ | 两个不同实根 $ x_1, x_2 $（$ x_1 < x_2 $） | 向下（$ a < 0 $） | $ (x_1, x_2) $ | $ (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) $ |
| 5 | $ D = 0 $ | 一个实根 $ x_0 $ | 向下（$ a < 0 $） | 无解 | $ (-\infty, x_0) \cup (x_0, +\infty) $ |
| 6 | $ D < 0 $ | 无实根 | 向下（$ a < 0 $） | 无解 | 全体实数 $ \mathbb{R} $ |
三、注意事项
- 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下，解集的方向与 $ a > 0 $ 时相反。
- 若不等式中含有“等于”号（如 $ \geq $ 或 $ \leq $），则需要将根包含在解集中。
- 在实际应用中，要特别注意不等式符号的变化，避免因误判而得出错误答案。
四、实例解析
例1：解不等式 $ x^2 - 5x + 6 > 0 $
1. 解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，得 $ x = 2 $ 和 $ x = 3 $
2. 抛物线开口向上
3. 所以解集为 $ (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) $
例2：解不等式 $ -2x^2 + 4x - 2 \leq 0 $
1. 化简为 $ x^2 - 2x + 1 \geq 0 $
2. 解得 $ x = 1 $（重根）
3. 抛物线开口向上
4. 所以解集为全体实数 $ \mathbb{R} $
通过以上方法和表格总结，可以系统地掌握一元二次不等式的解法，提高解题效率和准确性。