【泊松分布计算】泊松分布是一种常用的概率分布，用于描述在固定时间或空间内，某事件发生的次数的概率。它适用于独立事件发生次数的随机变量建模，尤其适合小概率事件的统计分析。泊松分布常用于排队论、保险精算、网络流量分析等领域。
一、泊松分布的基本概念
泊松分布由参数 λ（lambda）决定，λ 表示单位时间内事件发生的平均次数。若随机变量 X 服从泊松分布，则其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}
$$
其中：
- $ e $ 是自然对数的底（约等于 2.71828）
- $ \lambda $ 是已知的平均发生次数
- $ k $ 是实际发生的次数（非负整数）
二、泊松分布的计算步骤
1. 确定事件发生的平均次数 λ。
2. 确定要计算的概率值 k（即事件发生的次数）。
3. 使用公式计算 P(X = k)。
4. 可以根据需要计算多个 k 值的概率并进行比较。
三、泊松分布计算示例
假设某快递公司每天平均收到 5 个投诉电话（λ = 5），求以下情况的概率：
| 事件发生次数 (k) | 计算公式 | 概率值 P(X=k) |
| 0 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^0}{0!} $ | 0.0067 |
| 1 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^1}{1!} $ | 0.0337 |
| 2 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^2}{2!} $ | 0.0842 |
| 3 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} $ | 0.1404 |
| 4 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^4}{4!} $ | 0.1755 |
| 5 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^5}{5!} $ | 0.1755 |
四、总结
泊松分布是描述稀有事件在固定区间内发生次数的一种重要工具。通过了解 λ 的值和不同的 k 值，可以计算出不同情况下事件发生的概率。表格形式能够直观展示不同 k 值对应的概率，便于分析和决策。在实际应用中，泊松分布可以帮助我们更好地预测和管理资源分配与风险控制。