问正交矩阵的特征值为什么是1或负1

【正交矩阵的特征值为什么是1或负1】正交矩阵是线性代数中一种重要的矩阵类型，具有许多良好的性质。其中，其特征值的特殊性尤为引人关注。本文将从基本概念出发，总结正交矩阵的特征值为何只能是1或-1，并通过表格形式加以说明。

一、正交矩阵的基本定义

一个实矩阵 $ Q $ 被称为正交矩阵，如果满足以下条件：

$$

Q^T Q = I

$$

即，该矩阵的转置与其逆相等，也即：

$$

Q^{-1} = Q^T

$$

这意味着正交矩阵的列向量（或行向量）构成一组标准正交基。

二、正交矩阵的特征值特性

设 $ \lambda $ 是正交矩阵 $ Q $ 的一个特征值，对应的特征向量为 $ v $，则有：

$$

Qv = \lambda v

$$

我们可以通过以下推导得出 $ \lambda $ 的可能取值。

推导过程：

1. 对两边同时取模长平方：

$$

\Qv\^2 = \lambda^2 \v\^2

$$

2. 由于 $ Q $ 是正交矩阵，它保持向量的长度不变，即：

$$

\Qv\ = \v\

$$

3. 因此：

$$

\v\^2 = \lambda^2 \v\^2

$$

4. 若 $ v \neq 0 $，可两边同除以 $ \v\^2 $，得到：

$$

1 = \lambda^2

$$

5. 所以：

$$

\lambda = 1

$$

这表明，正交矩阵的所有特征值的模长都为1，即它们位于复平面上的单位圆上。

三、为什么是1或-1？

虽然正交矩阵的特征值可以是任意模长为1的复数（如 $ e^{i\theta} $），但在实正交矩阵的情况下，特征值只能是实数，因为其特征多项式系数均为实数。

对于实正交矩阵来说，模长为1的实数只有两个：1 和 -1。

因此，实正交矩阵的特征值只能是1或-1。

四、总结与对比

五、结论

正交矩阵的特征值之所以只能是1或-1，是因为它们必须满足模长为1的条件，而实正交矩阵的特征值若为实数，则只能是1或-1。这一性质在几何变换（如旋转和反射）中具有重要意义，也广泛应用于信号处理、计算机图形学等领域。